大统历法一上(法原)

制定历法的人各有自己的渊源，史书应该详尽采录，使后世有参考的依据。如《太初历》起源于音律，《大衍历》发端于蓍卜，都详细见于本历志。《授时历》以测量检骏推算焉宗旨，祇求与天相合，不牵强附会音律、卦爻。然而它立法的依据．数据的出处，以及日晷影长、行星度数，都有完整的书籍。郭守堃、查履谦的传中，有书名可考。《元史》全没有采录，现仅存奎盏的《议录》、《历经》的初稿。后来改变三应率及数据表的数据，和割圆弧矢的方法、平立定三差的来源，都删去没有记载。使作者的精辟见解湮汝无闻，有见识的人都为此感到道憾。现在根据《大统历通轨》及《历草》等书，稍加编排，首先是历法原理，其次是数据表，再其次是推算。而历法原理的细目有七项，是勾股测望，弧矢割圆，黄赤道差，黄赤道内外度，白道交周，日月五星平立定三差，里差刻漏。

勾股测望

在北京立四丈高的标尺，冬至日正午，测得影长七丈九尺八寸五分。随即用简仪测得太阳南至地平二十六度四十六分半，焉半弧背。求得矢度为五度九十一分半。将周天半径，减去矢度，剩余五十四度九十六分为股，就是本地离头顶上太阳的度数。用以弦股求勾的方法，求得勾为二十六度十七分六十六秒，就是太阳出地的半弧弦。在北京立四丈高的标尺，夏至日正午，测得影长一丈一尺七寸一分。随即用简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度为四十三度七十四分又四分之一。将周天半径，减去矢度，剩下十七度十三分二十五秒焉勾，就是本地离头顶上太阳的度数。用以勾弦求股的方法，求得股为五十八度四十五分半，就是太阳出地的半弧弦。

将冬至夏至太阳南至地平的度数相加，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京的赤道出地度数。以赤道出地度转减周天的四分之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，就是北京的纬度。

弧矢割圆

周天圆的直径为一百二十一度七十五分又四分之一。四分之一不用。半径为六十度八十七分半。又是黄道赤道的大弦。冬至夏至黄道赤道内外半弧背为二十四度。所测敷取整数。冬至夏至黄道赤道弧矢为四度八十四分八十二秒。黄道赤道大勾为二十三度八十分七十秒。黄道床道大股为五十六度零二分六十八秒。半径内减去矢度。

割圆求矢的方法。将半弧背的度数自乘，就是半弧背的幂。将周天圆的直径自乘，就是上廉。上廉乘半弧背的幂，就是正实。上廉乘以天圆直径，就是益从方。半弧背乘以二，乘以天圆直径，就是下廉。用初商乘上廉，再用益从方减去这个得数，余数就是从方。将初商自乘并用下廉减自乘的得数，余数乘以初商，就是从廉。从方和从廉相加，就是下法。下法乘以初商，再用正寅减去此数，如正赏不够减，就改用初商。正实还有余数，依次用商除下去。将初商乘以二，与次商相加并乘以上廉，再用益从方减去乘积，余数为从方。将初商和次商相加并自乘，又将初商自乘，然后两数相加，再用下廉城此数，余数用初商的二倍加次商舆之相乘，就是从廉。从方和从廉相加，就是下法。下法乘以次商，再用余实碱此数，从而确定次商。如还有余数，用同样的方法计算，商的得敷就是矢的度数。黄道赤道同用这一度数。

例如以半弧背一度来求矢的度数。方法是：将半弧背一度自乘，得敷为一度，是半弧背的幂。将天圆直径一百二十一度又四分之三自乘，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是上廉。上廉乘以半弧背的幂，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是正实。上廉又乘天圆直径，得一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，就是益从方。半弧背一度加倍，得二度，乘以天圆直径得二百四十三度五十分，就是下廉。初商八十秒。将初商八十秒乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，再用益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五减此数，余一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五，就是从方。又将初商八十秒自乘，得六十四微，再用下廉减此敷，余二百四十三度四九九九三六。仍然用八十秒乘此余数，得一度九四七九九九四八八，就是从廉。将从廉和从方相加，共得一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八，就是下法。下法乘以初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，再用正实藏去此数，得余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。将初商八十秒加倍，得一分六十秒。加次商二秒，得一分六十二秒，乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，再用益从方减此数，余一百八十万四千四百六十七度七二五七六二五，就是从方。又将初商和次商八十二秒自乘，得六十七微。加上初商八十秒自乘之数，得一秒三十一微，用下廉减此敷，余二百四十三度四九九八六九。乘以前面所得到的一分六十二秒，得三度九十四分四六九七八七七八，就是从廉。将从廉和从方相加，得一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八，就是下法。将下法乘以次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，用余实减此敷，还余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。不足一秒舍弃不用，以下同。

求得矢的度数共八十二秒，剩余部分继续用上列方法计算。求得矢的度数，作为黄道赤道相求及求二者内外度的根。数据详见后文。

黄赤道差

求黄道各度之下赤道度数的方法。将天圆的半径减去黄道矢的度数，余数焉黄道赤道的小弦。将黄道赤道的小弦，乘以黄道赤道的大股大股见弧矢割圆作为被除数。黄道赤道的大弦天圆半径作为除数。两数相除，就是黄道赤道的小股。将黄道的矢自乘作为被除数，以天圆的直径作为除数，两数相除，就是黄道半背弦差。用黄道积度即黄道半弧背减这个差，余数就是黄道半弧弦。将黄道的半弧弦，乘以天圆的半径也是赤道大弦作为被除数，以赤遒小弦作为除数与之相除，就是赤道的半弧弦。将黄道赤道的小股，也是赤道的横小勾。用赤道大弦即半径相乘作为被除数，以赤道小弦作为除数与之相除，就是赤道横大勾，再用半径减赤道横大勾，余数就是赤道横弧矢。将横弧矢自乘作为被除数，以直径作为除数与之相除，就是赤道的半背弦差。以半背弦差加赤道半弧弦，就是赤道的度数。

如黄道半弧背为一度，求赤道的度数。方法是：将半径六十度八十七分五十秒，即黄道赤道大弦。黄道的矢八十二秒，余六十度八六六八，就是黄道赤道小弦。将黄道赤道小弦，乘以黄道赤道大股五十六度零二六八，得三千四百一十度一七二零三零二四作为被除数，以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数，两敷相除，得五十六度零一分九十二秒，就是黄道赤道的小股。又是赤道小勾。将矢的度数八十二秒自乘，得六十七微，以天圆直径一百二十一度七五作为除数，舆之相除得五十五纤，就是黄道半背弦差。将黄道半弧背一度，减黄道半背弦差，余数就是半弧弦。因半背弦差在一微以下，所以不减，就用一度作为半弧弦。将黄道半弧弦一度自乘，得一度作为股的幂。黄道赤道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八六四作为勾的幂。两个幂相加得三千一百三十九度一五零七六八六四焉弦实，开平方，得五十六度零二八一，就是赤道小弦。将赤道半弧弦一度，乘以天圆半径，即赤道大弦。得六十度八七五作为被除数，以赤道小弦五十六度零二八一作为除敷相除，得一度零八分六十五秒，就是赤道的半弧弦。将黄道赤道的小股五十六度零一九二，又是赤道小勾。乘以赤道大弦天圆半径六十度八七五，得三千四百一十度一六八八作为被除数，以赤道小弦作为除数相除，得六十度八十六分五十三秒，就是赤道横大勾。将天圆半径六十度八十七分五十秒，减赤道大勾六十度八十六分五十三秒，余九十七秒，就是赤道横弧矢。将赤道横弧矢九十七秒自乘，得九十四微零九，再以天圆直径作除数舆之相除，得七十七纤，就是赤道背弦差。将赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，就是赤道的度数。现在赤道背弦差在一微以下，舍弃不加，就用半弧弦作为度数。

共求得赤道度数为一度零八分六十五秒。其余度数各自用上面的方法，求到各黄道度数下的赤道度数，两敷相减，就得到黄道赤道差，这是冬至夏至后的比率。春分秋分以后，以赤道度数求黄道，反过来相求，数据都相同。

黄赤道相求弧矢诸率立成上

(表格略)

黄赤道相求弧矢诸率立成下

(表格略)

按郭守敬创立的新方法有五条，其中一条是黄道赤道差，这就是它的数据。旧方法用一百零一度相减相乘。《授时历》创立新方法，用勾股、弧矢、方圆、斜直所包含的内容，推求黄道赤道的差敷，合乎天象的原理，比古代更严密。只是《至元历经》的记载很筒略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为差率，现在予以纠正。

割圆弧矢图

凡是圆周从中间剖开，就成了半圆。任意切分半圆的一部分，就成了弧矢形，都有弧背，有弧弦，有矢。切分出弧矢形的一半，就有半弧背，有半弧弦，有矢。因为弦和矢就生出勾股形，以半弧弦焉勾，半径减矢的余数为股，半径为弦。勾股内又形成小勾股，就有小勾、小股、小弦，而大小可以互相推求，平侧可以互相利用，圆周的道理，这就很切近了。

平线是赤道，斜线是黄道。因为冬至夏至黄道赤道的距离，生出大勾股。因为各度黄道赤道的距离，生出小勾股。

外面的大圆是赤道。从北极俯视，黄道在赤道之内，有赤道的各度，就有各度的半弧弦，以此生出大勾股。又各有舆它们相应的黄道半弧弦，以此生出小勾股。这二者可以互相推求。

按旧史书没有图，然而表也是和圆同类的。现在勾股割圆弧矢的方法，实在是历算家测算的根本。没有图不能说明问题，因而保留其重要的几幅。

黄赤道内外度

推算黄道各度距离赤道的内外度数及距离北极远近的方法。将天圆半径减去赤道小弦，余敷就是赤道两个弦的差。又是黄道赤道小弧的矢，又是内外矢，又是股弦差。将半径减去黄道矢的度数，余数就是黄道赤道的小弦。

将冬至夏至黄道赤道内外半弧弦舆黄道赤道小弦相乘作为被除数，以黄道赤道大弦作为除数，即半径。舆之相除就是黄道赤道小弧弦。就是黄道赤道内外半弧弦，又是黄道赤道小勾。将黄道赤道小弧矢自乘，即赤道两弦的差。除以直径，就是半背弦差。用这个差加黄道赤道小弧弦就是黄道赤道小弧半背，也就是黄道在赤道内外的度数。根据黄道在赤道内外的度数，如果在盈初缩末象限表内就加，在缩初盈末象限表内就减，都加减象限表内的度数，就得到太阳距离北极的度数。如冬至后黄道四十四度，求太阳距离赤道内外的度数及距离北极的度数。方法是：将天圆半径六十度八十七分半，减黄道四十四度时赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，就是黄道赤道小弧矢。即内外矢。将半径六十度八七分半，减黄道四十四度时的矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四度三十分六十八秒，就是黄道赤道小弦。将黄道赤道小弦，用冬至夏至时黄道赤道内外半弧弦二十三度七十一分舆之相乘，得一千零五十度五十一分四二三八作为被除数，以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数舆之相除，得十七度二十五分六十九秒，即黄道赤道小弧弦。即内外半弧弦。将黄道赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数，用直径一百二十一度七十五分与之相除，得五分二十一秒就是背弦差。用背弦差加黄道赤道小弧弦十七度二十五分六十九秒，得十七度三十分八十九秒，就是冬至夏至前后黄道四十四度时，太阳距离赤道的内外度。将象限九十一度三十一分四十三秒七五，加内外度十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，就是冬至后黄道四十四度时太阳距离北极的度数。

黄道每度去赤道内外及去北极立成

(表格略)

白道交周

推算白道和赤道的降交点距离黄道赤道降交点的最大数值。方法是：将寅测到的白道出入黄道内外的六度作为半弧弦，又是大圆的弦矢，又是股和弦的差。将半径六十度八七五自乘，得三干七百零五度七六五六二五，用矢六度与之相除，得六百一十七度六十三分为股弦的和，再加矢六度，共六百二十三度六十三分，就是大圆直径。按法则求得容阔五度七十分，又是小勾。又以冬至夏至时出入半弧弦二十三度七十一分作为大勾。以大勾作除数，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整敷而言为度差。以度差乘小勾，得小股十三度四十七分八十二秒，就是容半长。以半径六十度八七五焉大弦，乘以小勾五度七十分作为被除数，以大勾二十三度七十一分焉除数舆之相除，得十四度六十三分就是小弦；又是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的半弧弦。按法则求得半弧背十四度六十六贫，就是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的最大敷值。