后世制度胜过古代，并经多次改动而更加严密的，祇有历法最为显著。《唐书历志》认为天是运动的物体，时间久了就有差错，不得不多次变动历法以跟上它。这种说法看起来羞不多，其实不对。《易经》说：“天地之道，是以正确昭示于人。”天的运行最为刚健，确实是有规律的，本来没有古今的差异。其岁差盈缩迟疾各种情况，古代无而现在有，是因为其数量很小，积累久了纔显著。古人没有感觉到，而后人感觉到了，并不是天运行的差错。如果天果真是运行久了有差错，那必然参差衰败而没有规律，又从哪儿去修改而使它更严密呢？看史书传志的记载，岁星宫次混乱、太阳运行度数失常的事情，不出现在近代，也可看出这一点。天的运行规律繁复，而人的智力有限，拿着几尺长的圭表，去仰测苍穹，怎么能看清一切而没有遗漏呢？只有综合古人今人的思想，继续前人的业绩而加以扩充修订，大概纔能符合实际。所以不可能制定一成不变的历法。

从黄帝到秦，历法共改了六次。汉共改了四次。从魏到隋，改了十五次。从唐到五代，改了十五次。宋改了十七次。从金到元，改了五次。只有明的《大统历》，实际上就是元的《授时历》，袭用了二百七十多年，未曾改变历法。成化以后，日食月食往往不灵验，议论改变历法的人很多。如俞正己、冷守中这些无知妄说的人就不说了，而华湘、周濂、李之藻、邢云路这些人颇有见解。郑王世子朱载堉撰写了《律历融通》，进献《圣寿万年历》，他的说法来源于南都御史何瑭，深得《授时历》的旨意，而又能补正它的不足。主管官员拘泥于旧说，当事者又害怕变革，都予以阻拦而未能推行。崇祯年间，朝廷议论采用西洋新历，皇上命令阁臣徐光启、光禄卿李天经先后管理此事，编成《历书》一百三十多卷，多能提出古人所没能提出的看法。当时平民魏文魁上疏抨击新历，皇上下诏设立两局来推算检验。经过几年校核检测，新历特别严密，然而也没来得及颁行。由此看来，历法本来就没有使用长久而无差错的，怎么能不随时修改，以求合乎天的运行呢！

现在采集各家说法中有助于历法的，著录在篇首。而《大统历》则叙述它的立法的本原，以补《元史历志》的不足。《回回历》始终都属于钦天监管理，与《大统历》参互使用，也附录在这里。

历法沿革

吴元年十一月乙未冬至，太史院使刘基率领他的下属高翼进呈戊申《大统历》。太祖下谕说：“古代冬末颁布历法，太迟了。现在在冬至，也不好。应该在十月初一，着焉法令。”洪武元年，改太使院为司天监，又设置回回司天监。皇上下诏召元太史院使张佑、回回司天太监罴的儿等共十四人，不久又召回回司天台官郑阿里等十一人到京，讨论历法。三年，改司天监为钦天监，下设四科：天文、漏刻、《大统历》、《回回历》。以监令、少监统率他们。每年制订《大统民历》《御览月令历》《七政躔度历》《六壬遁甲历》《四季天象占验历》《御览天象录》，各在适当的时候上呈。发生日食月食的分秒时刻、起复方位，事先桌报皇上知道。十年三月，皇上与群臣讨论天和日月金木水火土七政的运行，群臣都用蔡氏的左旋之说来应对。皇上说：“朕自起兵以来，仰观天象，天向左旋转，七政向右旋转，历术家的说法，确实而不可改变。你们还墨守着蔡氏的说法，难道造就是所谓格物致知的学理吗？”十五年九月，诏令翰林李种、昊伯宗翻译《回回历书》。

十七年闺十月，漏刻博士元统进言说：“现行历法以《大统》为名，而积分还继承《授时历》的数目，这不是重视王朝肇始和敬重皇上即位的做法。况且《授时历》以元至元辛巳年为历元即计时起点，至洪武甲子年已累计一百零四年，年代久速，日数盈余，渐渐地与天的运行度数有误差，应该修改。七政运行不齐，其中的道理很深奥。听说有一个叫郭伯玉的，精通数学的道理，应召来令他推算，以制成一代的历制。”皇上答复可以，提拔元统焉监令。元统于是取用《授时历》，除去其中的一年长度消长的办法，分析它的条例，共得四卷，以洪武十七年甲子为历元，命名为《大统历法通轨》。二十二年，改监令、监丞为监正、监副。二十六年，监副李德芳上疏说：“监正元统改用洪武甲子年作历元，不采用一年长度消长的办法，以此考核鲁献公十五年戊寅天时正点冬至，比以至元辛巳年为历元，差囚天半还多。现在应当恢复以辛巳年焉历元及一年长度消长的办法。”奏疏呈入后，元统上奏辩解。太祖说：“两种说法都难以凭信，只有验证七政交会时运行度数没有差错的纔是对的。”从此《大统历》历元是洪武甲子年，而推算仍然依照《授时历》的办法。三十一年，撤鹞回回钦天监，《回回历》科仍旧保留。

永乐年间迁都顺天，仍然使用应天冬夏昼夜的时刻，到正统十四年纔开始改用顺天的数据。这年冬天，景帝即位，天文生马轼上奏说，昼夜时刻不宜改变。皇上下发廷臣集体商议。监正许惇等说：“前监正彭德清测算得到北京的纬度是四十度，比南京高出七度多，冬至白天长三十八刻，夏至白天长六十二刻。奏请批准改写进《大统历》，永远以此为确定的模式。马轼所言荒诞虚妄，不足听信。”皇上说：“太阳出入的度数，应当采用四方的中央的度数。现在京城在尧幽都地方，怎么可以作为标准？此后制定历法，仍然采用洪武、永乐的旧例。”

景泰元年正月辛卯，卯时后段三刻月食。钦天监官员误推算焉辰时前段一刻，以致失去救护。下交法司审讯，定罪服徭役。皇上诏令宽宥他们。成化十年，因司天监官员多不称职，提拔云南提学童轩为太常寺少卿，管理司天监事务。十五年十一月戊戌望日，月食，司天监推算又失误，皇帝认为天象精微渺茫，没有怪罪他们。十七年，真定教谕俞正己上呈《改历议》，皇帝下令礼部及童轩参考。尚书周洪谟等说：“俞正己只根据《皇极经世书》及历代天文志、历志推算节气和初一，又根据自己的意思创造八十七年约法，每月大小相问。轻率狂妄，应惩治他的罪行。”于是将俞正己投入钦犯监狱。十九年，天文生张升进言修改历法。弘治年间，月食的推算多次不应验，日食的推算也出现错误。

正德十二、三年，连续推算日食的韧亏和复圆，都不相，符合。于是漏刻博士朱裕进言说：“元至元辛巳年距今已二百三十七年，年岁久了不可能没有差错，如不酌情加以增减，恐怕越久差得越远。请求选派大臣总管此事，命令本监官吏生员一半人用古法推算，一半人用新法推算，两种方法相互验证，回回科用西域《九孰历法》推算验证。仍然派遣官员到各省，观察土圭来推测节气的早晚。反复参照比较，那么日食月食的时刻就可以准确，而七政的运行也可以整齐。”礼部答复说：“朱裕和监官的历法学识未必都精湛，今年十月望日月食，中官正周濂等所推算的，与古法及朱裕所上奏的不同，请到期考察验证。”接着周濂等进言说：“太阳运行的度数每年后退一分五十秒。今年是正德乙亥年，距元至元辛巳二百三十五年，赤道上的岁差，应当后退三度五十二分五十秒。不经过订正，推算怎么能相符合。臣审查校验，求得正德丙子年前天时正点冬至节气应焉二十七日四百七十五分，确定辛卯日丑时前段一刻，太阳运行到赤道箕宿六度四十七分五十秒，黄道箕宿五度九十六分四十三秒为历元。气、闰、转、交四应，以及周天黄道赤道，各类数据表，都根据岁差，随时改正。希望命令礼部大臣和钦天监正管理这件事。”礼部上奏说：“古代的历法不能轻易改变，请求沿用旧法。另外选择精通历学的人，和周濂等用新法参证检酸，再上奏禀报。”皇上听从了。

十五年，礼部员外郎郑善夫进言说：“日月亏食，日食最为难测。大致月食的程度，只看距离交点的远近，另外没有四季的增减，而且月亮体积小光线弱周围的空间大，八方所见到的都相同。如果太阳被月亮掩盖，则太阳大而月亮小，太阳在上而月亮在下，太阳逮而月亮近。太阳的运行有四季的差异，月亮的运行有青、白、朱、黑各二加黄道共九道的分别。所以南北观察到的景象不同，时间也有差异。必须根据地方立标尺观测，按照时间求得吻合。如正德九年八月辛卯日食，历官预报日食程度为八分六十七秒，而福建、湖广地方，最终达到了全食。时刻分秒，怎么能相同？现在应按照日月食更改历元，时刻分秒，一定要将零数分割完毕。不然，积累多年，太旸运行的远近、月亮在月初月底出现的方位，又不符合了。”皇上没有答复。十六年，因南京户科给事中乐护、工部主事华湘通晓历法，都提升焉光禄寺少卿，管理钦天监事务。

嘉靖二年，华湘进言说：“古今善于制定历法的有三家，汉《太初历》用音律，唐《大衍历》用蓍草占卜，元《授时历》用日晷测影，最为接近真实。想订正历法而不登观象台测日影，都是空话和缺乏根据的看法。希望准许臣暂时停止上朝参拜，率领中官正周濂等，赶在冬至前到观象台，昼夜观测推算，逐日逐月记录，直到明年冬至，以验证二十四节气、春分秋分夏至冬至及日月每月初一同时出现、太阳月亮的运行、黄道赤道、早晨黄昏时中天南方的星宿、七政和四余的运行度数，与元辛巳年所测定的数据相比，异同如何，依次记录禀告。另外请救命礼部访求延聘精通历法敷术的人，征召到京城，命令他们详细测定岁差，以完成本朝的历制。”下发礼部集体商议，而乐谨说历法不能改动，与华湘很不相同。礼部上报说：“华湘想自己观测，不是没有见识。请两位臣子各自完全说出自己的见解，穷尽所有相同相异之处，以与天道相协调。”皇上听从了。

七年，钦天监上奏说：“闺十月初一，按《回回历》推算日食程度二分四十七秒，按《大统历》推算不发生日食。”后来没有发生日食。十九年三月癸巳初一，台官报告要发生日食，后来没有发生日食。皇上很高兴，以为是上天关照自己，然而实际上是由于推算的疏误。隆庆三年，掌管钦天监事务的顺天府丞周相刊印《大统历法》，其中历法源流部分逐一叙述古今各种历法的异同。万历十二年十一月癸酉初一，按《大统历》推算日食程度九十二秒，按《回回历》推算不发生日食，事后《回回历》应验。礼科给事中侯先春于是进言说：“近年月食在酉日而预报说在戌日，月食将要达到全食了却预报说不到九分，差错太大了。《回回历》科推算日食月食，五星冲犯，最为精密，何不编入《大统历》中，以备考察检验。”皇帝下诏许可。二十年五月甲戌夜发生月食，钦天监官员推算差错一天。

二十三年，郑王世子朱载堉迄献《圣寿万年历》、《律历融通》二书。奏疏大致说：“高皇帝推翻元朝时，元的历法使用不久，节气和朔日都没有差错，所以没有改制历法，只是斟酌修订而已。积累年岁久了以后，节气和朔日逐渐有误差。《后汉书，律历志》说‘每遇三百年，历法就应改制’。现在以万历为历元，而到万历九年辛巳正好到了‘历法改制’的时间，又合‘干卦用九’的意思，历元正在这时。臣曾拿《大统历》和《授时历》进行比较，考察古代则节气差错三天，推算现时则时间差错九刻。误差虽然祇有九刻，如处在夜半之际，误差就隔了一天。节气相差一天，则安排闰月就相差一月。闰月相差一月，则时间就差了一季。时间差了一季，则年岁就相差一年。其失误难道是微小的吗？因为《授时历》削减日长的分数太多，所以出现预报日期比天象早的失误；《大统历》不削减日长的分数，所以出现预报日期比天象晚的失误。因此汇合两家的做法，酌情选取折中的数据，确立为新的比率，编撰成书，主要意旨出于许衡，而与许衡的历法不同。黄钟是律历的根本，但旧有历法很少谈到它，新历法就以推算音律的阴阳变化为首。尧的时候冬至时太阳运行在二十八宿的位置，何承天推算在女宿十度左右，一行推算在女宿和虚宿之间，元代人的历法论述也说在女宿、虚宿交界的地方。而《授时历》考求，却在牛宿二度。《大统历》考求，却在危宿一度。相差二十六度，都不与《尧典》相合。新历法向上考求尧元年甲辰年，夏至正午，太阳在柳宿十二度左右，冬至正午，太阳在女宿十度左右，心宿昴宿作为夏至冬至黄昏时的中星，各离午时前段不超过半个宿次，与何承天、一行两家的说法相合。这些都是与旧历法显著的不同处，其余详见《历议》。希望敕令大臣名家参订采用。”

朱载堉的历法首先是推算太阳的往返。选取嘉靖甲寅年焉历元，一个元纪为四千五百六十年，一个期实一千四百六十一年，节气岁差一秒七十五忽．岁周和气策没有固定的比率，各自根据岁差推求而采用。律应即是气应五十五日六十刻八十九分，律总旬周六十日。其次是推算朔闰。朔望弦的度数和《授时历》相同，闰应十九日三十六刻十九分。再其次是推算太阳的运行度数。太阳平均日行一度，运行周期即是天周三百六十五度二十五分，半周为一半，象限长度又为一半，辰的长度是运行周期的十二分之一。黄道、赤道的岁差，盈初缩未限，缩初盈末限，都与《授时历》相同，周应二百三十八度二十二分三十九秒。按《授时历》求太阳运行度敷的方法是，用周应加积度，规定从虚宿七度算起，它的周应就是从虚宿七度到箕宿十度的数字。《万年历法》用周应碱积度，规定从角宿初度算起，它的周应是从箕宿十度到角宿初度的数字，应当是二百八十六度四十五分。现在数字不相合，可能有错误。再其次是推算晷影和滴漏。北极出地的度数，冬至、夏至正午晷影的长度和冬至夏至昼夜长短的刻敷，都以京师焉准。参照岳台的测量数据，可以看出各处因距离不同引起的差数。再其次是推算月亮运行。月平行度、转周、转中，与《授时历》相同。离周即是迟疾限三百三十六限十六分六十秒，离中折半，离象又折半。转差一日九十七刻六十分。转应七日五十刻三十四分。再其次是推算交道。正交、中交与《授时历》相同。距交十四度六十六分六十六秒。交周、交中、交差，与《授时历》相一致。交应二十日四十七刻三十四分。再其次是推算日月食。日食交外限六度，定法六十一，交内限八度，定法八十一。月食限定法与《授时历》相同。再其次是推算五星。合应：土星二百六十二日三千零二十六分，木星三百一十日一千八百三十七分，火星三百四十三日五千一百七十六分，金星二百零三日八千三百四十七分，水星九十一日七干六百二十八分。历应：土星八千六百零四日五千三百三十八分，木星四千零一十八日六千零七十三分，火星三百一十四日零四十九分，金星六十日一千九百七十五分，水星二百五十三日七千四百九十七分0周率、度率及晨夕伏现度，都与《授时历》相同。

他论述岁余，说：“阴阳消长的道理，是逐渐变化而积累，没有不从秒开始的。《授时历》考察古代，在一百年的交接处就马上加一秒，从道理上讲不妥当。比如鲁隐公三年辛酉年，往下距离元至元辛巳年二千年，用《授时历》的方法计算，这一年该加二十分，推得庚午日六刻，是这一年的天正冬至。鲁隐公四年壬戌年，往下距离元至元辛巳年一千九百九十九年，按算法该加十九分，推得乙亥日五十刻四十四分，是这一年的天正冬至。两个冬至相减，得数相距三百六十五日四十四刻四十四分，那么这一年的岁余是九分之四日，而不是四分之一日了。历法的荒谬，没有比这个更严重的了。新历法酌情考虑，如果每年增减二秒，往上推，就与昭公己丑年不合；增减一秒至一秒半，又与僖公辛亥年不合。现在大致取一个折中数，方法是将定距自乘，再乘以七除以八，得到的百位数，化为分，得敷焉一秒七十五忽，逭样辛亥、己丑都可以兼顾了。”

他论述太阳运行，说：“古历见于《六经》并明确可考的，没有比得上太阳运行和中星的了。而推算家很少有能透彻理解的，都是因为不知道夏历、周历的差异。大致夏历以节气为主，周历以中气为主。何承天以正月甲子夜半合朔雨水为历元，进与夏历不合，退又不合周历。所以近代推算《月令》《小正》的，都不能与古代相合。臣曾以新历法的岁差，向上考察《尧典》的中星，那么所谓的四仲月，大概是从节气的开始到中气的末尾，三十天内的中星而已。后世拘泥于春分秋分夏至冬至，这也就错了。”

他论述测量北极出地，说：“从汉到齐、梁，都认为纽星就是不动的地方。只有祖佢之测到纽星离北极有一度多。从唐到宋，又测到纽星离北极三度多。《元史，历志》依从三度，大致还没有定论。新历法不测纽星，用日影来检验。在正方的几案上，在一周天的度数内暂时指定一度作为北极，从此度向右旋转，数到六十七度四十一分。就是夏至太阳运行到的位置。又旋转到一百一十五度二十一分，就是冬至太阳运行到的位置。向左旋转，度数也一样。四处和圆心共五处，各钉一枚针。在冬至夏至正午，将几案直立向南产生日影，使三枚针的日影相合，然后悬着绳子取到中线，又取方十字划出界限，看横界上距北极的度数，就是北极出地的度数。”

他论述日晷测影，说：“何承天立圭表测日影，开始知道从漠以来，冬至都比天象晚三天。所以推算晷影，是制定历法的重要工作。《授时历》也凭借晷影作为根本，而《历经》不记载推算晷影的方法，这是缺陷。现在用北极出地的度数，兼用弧矢割圆的方法推求，有望穷尽它的本源。又随着地势的高低，确定差数来表现它的变化，这是以前所没有的。”又说：“《授时历议》根据《漠书，律历志》鲁献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，引用为首例。献公十五年往下到鲁隐公元年己未，有一百六十一年，时间不在春秋时段以内是很明白的了。而《元史，历志》却说‘自春秋献公以来’，又说‘昭公冬至，就是太阳运行失常的证据’，是错误的。献公甲寅冬至，没有别的依据，只有刘歆《三统历》这样说。难道《左传》不可信，而刘歆却可信吗？太初元年冬至在辛酉，刘歆却认为是甲子，相差三天，这都尚且不能知道，还能够推知上下几百年吗？所以大凡春秋前后千年之间，气朔交食，《长历》、《大衍历》所推算的大致对，而刘歆、班固所说的完全是错的。”又说：“《大衍历议》说宋元嘉十三年十一月甲戌，影长是太阳运行度数的异常变化，《授时历议》也这样说，臣私下认为这是错的。如果太阳运行超出了常规，应当像岁差一样，渐渐地变化。今年已经不合，来年难道能又相合吗？大概前人的测量，有的不严密罢了。冬至的日影有一丈多长，圭表高，日影长，那么日影就虚而淡。有时设置望筒、副表、影待之类来求实影，然而望筒或许有低昂，副表、影符或许有前后，所用的圭表或许稍有倾斜，圭面或许稍有不平，冬至夏至前后几天的日影，进退只在毫厘之间，也很难辨认。何况委托的人，不知是否恰当。边远的地方，既然不是亲眼所见，他人所报告的晷影，难道可信吗？”

他论述漏刻，说：“日月带食出入，五星晨昏伏现，历家制定历法都以日晷漏刻为准。而日晷漏刻也随着地势的南北，纬度的高低有差异。元人以燕京为都城，他们的《授时历》中日月五星出入的早晚，四季日夜的长短，都以大都的日晷漏刻焉准。国朝初年建都金陵，《大统历》日晷漏刻改为依从南京，冬至夏至相差三刻多。现在推算日月食的分秒，南北东西等差及五星定伏定现，都根据元人的旧法，而单单改变了漏刻，因此互相违背出现错误。所以新法日晷漏刻，照样依据元朝的老数字。”

他论述日食，说：“日道和月道相交点有两处，如果日月正好在交点相会，就是全食，如果只在交点前后相近的地方相会，就会发生日食但不是全食。这是天的相交限度。还有人的相交限度，如果在中原是全食，那么在太阳的正下方，亏食只有一半，到僻远的地方，则是日月相会而不食。几个地方交换反过来看，也是一样。为什磨呢？太阳像一个大的红丸子，月亮像一个小的黑丸子，共同悬挂在一根线上，太阳在上而月亮在下，如果从正下方望去，黑丸子必定掩盖红丸子，就像日全食；到旁边观看有远近的差别，那么日食的程度就有多少了。春分以后，太阳在赤道北面运行，交外偏多，交内偏少。秋分以后，太阳在赤道南面运行，交外偏少，交内偏多，所以有南北差。冬至以后，太阳在黄道柬面运行，午前偏多，午后偏少。夏至以后，太阳在黄道西面运行，午前偏少，午后偏多，所以有东西差。中午仰视太阳就高，早晚平枧太阳就低，所以有距午差。中午前日食看见得早，中午后日食看见得迟，所以有时差。这种种差别，只有太旸纔有，月亮没有。所以推算交食，只有太阳很困难。想推算各个地方的变化，必须到那个地方，考察晷影的短长，测量星辰的高低，纔有希望得到。《历经》推定的数据，只是根据燕京所见到的来立说而已。老话说：‘月亮运行内道，日食多能应验。月亮运行外道，日食多不应验。又说：‘天的相交限度，虽然是在内道，若在人的相交限度之外，也同外道相似，也不发生日食。这种说法大致不错，但不全对。假如在夏至前后，在十二辰的寅卯酉戌之间发生日食，人向东北、西北观看，那么外道食分反而多于内道了。太阳体积大于月亮，月亮不能完全掩盖，有时遇到全食，而阳光四溢，形状如同金环，所以太阳没有日食十分的道理。即使全食，也只有九分八十秒。《授时历》日食，阳历限六度，定法六十，阴历限八度，定法八十。各将其限度，除以定法，都得到十分。现在在它们的定法下各加上一，用限度相除，就得到九分八十多秒了。”

他论述月食，说：“暗中虚的东西，是影子。影子遮蔽月亮，没有早晚高低的差异，四季地区的不同。比如悬一粒黑丸子在黑暗的屋子中，在它的左面点燃蜡烛，右面悬一粒白丸子，如果烛光被黑丸子遮蔽，那么白丸子就接受不到光线了。人在四面观看，所见到的没有不同。所以月食役有时差的说法。自从《纪元历》虚妄地定下时差，《授时历》也因袭它，是错误的。”

他论述五星，说：“古法推算五星，不知道变敷的加减。北齐张子信长期仰观天文，知道五星有盈缩的变化，应当加减以求每天的运行度数。五星出入黄道内外，各自有自己的远近轨道，根据和太阳的远近有快慢，它们变化数字的加减，就好像路程的曲直正斜。宋代有人说：‘五星的运行度数，只有在停留逆行的时候差异最大。在黄道内前进的，它后退必然向外，在黄道外前进的，它后退必然向内。它运行的轨迹好像沿着一片柳叶，两端比中间尖，往返的轨道相差很远。所以五星运行在两端较慢，因为它是斜着运行的缘故。中间的运行较快，因为它道路便捷的缘故。前代修订历法，只是缯减旧法而已，不曾实际考察天体的运行度数。办法是必须测量检骏每晚黄昏、夜半、拂晓月亮及五星所在的度秒，，用本子记录下来。满五年，除去中间阴云和五星出现在白昼的日数，可以测得三年的实际运行，然后可以推算补缀了。”

奏疏上呈，礼部尚书范谦上奏说：“岁差的规律，从虞喜以来，每代都有岁差规律的议论，最终没有统一的规矩。用来求岁差的方法，大致有三种：考察月令的中星，测量冬至夏至的日影，检验交食的分秒。用衡管考察，用圭表测量，用漏刻验证，这也可望得到结果了。历家用周天三百六十五度四分之一度，来记录日月五星的运行，又分一度为一百分，一分为一百秒，可以说很精密了。然而浑天仪直径只有几尺，分布周天的度数，每度不到一指头宽，又在哪儿去安置分秒呢？至于树立的圭表不过几尺，刻漏的筹码不过几寸。以天的高而且广，而用几尺几寸大小的东西来测量它，想要丝毫不差，不是太难了吗？所以当它差在分秒之间，无法检验，到差错超过一度，纔可以观察了。这就是穷尽了古往今来人们的智慧和灵巧，还不能完全测算到天体变化的原因吧。就以郑王世子来说，将《大统历》、《授时历》两历进行比较，考察古代气差了三日，推究今日时间差了九刻。时间相差九刻，在亥时和子时之间就移动了一日，在晦日和朔日之交就移动了一月，这是可以在现在验证的。如果时间前移，那新月就出现在二日的黄昏，如果后移，新月就出现在四日的晚上了。现在似乎还没有到逭一步。郑王世子的书应该下发钦天监参订测验。世子用心于历学，博古通今，应该赐敕书奖励。”皇帝听从了他的意见。

河南佥事邢云路上书说：“治理历法的要点，没有超过观测天象、测量日影、测算天时、筹划计算四件事。现在丙申年日至，臣测得在乙末日未时后段一刻，而《大统历》推算在申时后段二刻，相差九刻。而且今年立春、夏至、立冬都正巧在子时一半的时刻。臣推算立春在乙亥，而《大统历》推算在丙子；夏至在壬辰，而《大统历》推算在癸巳；立冬在己酉，而《大统历》推算在庚戌0相隔都是一天。如果正好元日在子时的一半，就该把正月初一退到上月的末尾，而朝贺大礼就在正月二日了。这难道是小事吗？闰八月朔日，日食，《大统历》推算初亏在巳时后段二刻，接近日全食，而臣测到初亏在巳时后段一刻，亏食只有七分多。《大统历》实际落后于天象将近二刻，那么闰应及转应、交应，都各应增减了。”钦天监见到邢云路的奏疏，十分厌恶他。监正张应侯上奏斥责，说他超越本分，狂妄惑众。礼部尚书范谦却说：“历法是国家的大事，士大夫应当讲求，不是从事历法的人能够私自占有的。法律禁止的，只是说妖异吉凶而已。钦天监官员墨守成法，不能修改以符合天象。幸好有邢云堕这样的人，应当与他和衷共事，不应该妒忌。请求任命邢云路管理钦天监事务，率领督促部属，精心测量，以制成大典。”奏议上呈，皇帝没有答复。

三十八年，钦天监推测十一月壬寅朔日日食的程度及初亏复圆的情况，职方郎范守己上疏驳斥他们的错误。礼官于是请求广招懂历学的人，命他们与钦天监官员日夜推测，以求历法没有差错。这时五官正周子愚进言说：“大西洋来归顺的远方臣子庞迪峩、熊三拔等，带有那个国家的历法，多是中国典籍中没有的。请求仿照洪武年间翻译西域历法的先例，选取懂历法的大臣率领钦天监官员，将各种书全部翻译，以补充典籍的缺陷。”在此之前，大西洋人利玛窦进贡土产，而庞迪峩、熊三拔及龙华民、邓玉函、汤若望等先后到来，都精通天文历法。礼部于是上奏说：“精通历法，像邢云路、范守己这样的人，被时人推重，请求改授京官，共同管理历法事务。翰林院检讨徐光启、南京工部员外郎李之藻也都精心研究历法原理，可以和庞迪峩、熊三拔等共同翻译西洋历法，让邢云路等参订修改。然而历法的粗疏严密，没有比日月食表现更明显的了，想要议论修订历法，必须注重测量检验。请命令有关部门整治仪器，以便于事情的进行。”奏疏呈入，留在宫中。不久邢云路、李之藻都被召到京城，参预历法事务。邢云路根据他所举的理论，李之藻则以西洋历法为宗旨。

四十一年，李之藻已改任南京太仆少卿，上奏呈上西洋历法，大致说了钦天监推算日月交食时刻亏分的错误，并极力推荐庞迪峩、熊三拔及龙华民、阳玛诺等，说：“他们论述天文历法，有中国过去的贤人所赶不上的，不但讨论运行的度数，而且又能说明其所以然的道理。他们所制造的观测天象太阳的仪器，每种都精妙绝伦。当时各种事情都因循守旧，没有功夫来设置翻译机构。

四十四年，邢云路进献《七政真数》，说：“推算历法的方法，必须用两个交点相对。两个交点正确，中间的时刻分秒的度数，一一可以查考落实。日月的交食，五星的冲犯，都是日月五星的交会。两个交点相对，互相说明，日月五星的事情就完全清楚了。”玉启元年春，邢云路又详细叙述古今日月交食的几件事，以说明《授时历》的粗疏，证明新历法的精密。奏章下发礼部。四月壬申朔日日食，邢云路所推算的食分时刻，和钦天监所推算的互有差异。自己说新历法十分精密，到时检验，都与天象不合。邢云路又曾论述《大统历》宫度的交界，应当用岁差来考定，不应当仍然用《授时历》三百年前所测定的数据。又说月份和十二辰的对应与北斗斗柄的指向没有关系，北斗斗柄所指有岁差，而月份和十二辰的对应没有变动。这些都是确切的评论。

崇祯二年五月乙酉朔日日食，礼部侍郎徐光启按照西洋历法预测，顺天府见日食二分多，琼州日全食，大窒以北不发生日食。《大统历》《回回历》所推算的，顺天府的时分时刻，舆徐光启不同。后来徐光启的算法应验了，其它的都有疏误。皇帝严厉指责钦天监官员。这时五官正戈丰年等进言说：“《大统历》是建国初年制定的，实际上就是郭守敬的《授时历》，二百六十年丝毫没有增减。从至元十八年制定历法，遇了十八年到大德三年八月，已经预报要发生日食而没有发生，六年六月又发生日食而没有推算出来。当时郭守敬正主持太史坑事务，也无可奈何，更何况那些拘谨守法的人呢？现在如果遵循旧法，往后不能没有差错。”于是礼部上奏设置机构修改历法，皇帝就让徐光启统领修订历法。徐光启进言说：“近代谈历法的各家，大都尊崇郭守敬的历法，至于说岁差有循环，岁寅有参差，天有纬度，地有经度，各宿有本行，月亮五星有本轮，日月有真正的会合、视觉的会合，都是古代没有听说遇的，祇有西洋历法纔有。而舍弃这几绦法则，那磨日月交食五星冲犯，最终不会有切合的理论。应该取来相互考订，使它与《大统历》汇合而一。”

事后徐光启上奏修订历法的十件事：第一，讨论岁差，每年束行逐渐变长逐渐变短的数据，以纠正自古以来一百年、五十年、六十年多少不同的说法。第二，讨论岁实小余，古代多，现在少，逐渐在改变，以及日影长短年年不同的原因，以确定冬至，以订正气和朔日。第三，每天测量太阳运行的经度，以确定盈缩加减差的准确比率，东西南北高下的差异，以推算太阳的运行。第四，晚上测量月亮运行的经纬度数，以确定交转迟疾的准确比率，东西南北高下的差异，以推算月亮的运行。第五，精密测量各宿的经纬运行度数，以确定日月五星盈缩、迟疾、顺逆、违离、远近的数据。第六，精密测量五星的经纬运行度数，以确定小轮运行的迟疾、停留逆行、伏现的数据，东西南北高下的差异，以推算五星冲犯。第七，推算黄道赤道问变宽变窄的度数，精密测量黄道赤道的距度，以及月亮五星各道与黄道相距的度数，以确定交转。第八，讨论日月离交点的远近及真正会合、视觉会合的原因，以确定距午时差的准确比率，以订正日月食。第九，测量太阳运行，考察出南北极出入地的度数，以确定周天的纬度，以弄清日月五星的运行。通过月食考察确定东西相距地轮的经度，以确定交食的时刻。第十，依照唐、元的方法，在各地测量南北极出入地的度数，地轮的经纬度，以求昼夜晨昏的长短，以订芷交食有无、先后、多寡的数据。并以此机会推荐南京太仆少卿李之藻、西洋人龙华民、邓玉函。皇帝批覆同意。九月癸卯开设历局。三年，邓玉函去世，又征召西洋人汤若望、罗雅谷译书演算。徐光启进升礼部尚书，仍然统领修订历法。

这时巡按四川御史马如蛟推荐资县诸生冷守中精通历学，将他所呈递的历书送交历局。徐光启极力驳斥它的荒谬，并预推第二年四月四川月食的时刻，叫他们到时测量比较。四年正月，徐光启进呈《历书》二十四卷。夏四月戊午，夜望月食，徐光启预推了分秒食刻方位。上奏说：“日食各地不同，就用地的纬度算它的食分的多少，用地经度算它的加时的早晚。月食的分秒，各地相同，只是用地经度推求它的先后时刻。臣从地图大致推算，开列各布政司月食初亏度分，食分多少既然天下都相，同，那么余率就可以类推，不像日食在不同的经纬各不相同，必须详细算出。又月体十五分，那么完全进入虚暗的空间也只有十五分。现在推算二十六分六十秒，是虚暗的空间大于月亮，如果月食时离交点较速，月体就不能完全进入虚暗空间，只能从月体来说它的分数。这晚上的月食，极其接近交点，所以月亮进入虚暗中十五分就是食既，再进去十一分多，就是生光，所以是二十六分多。如《回回历》推算十八分四十七秒，大致和这种方法相同。”后来四川报告冷守中推算的月食实际差二时，而新方法密切相合。

徐光启又进呈《历书》二十一卷。冬十月辛丑朔日日食，新法预推顺天见食二分十二秒，应天以南不发生日食，大漠以北全食，按惯例因京师见食不到三分，不采取救护措施。徐光启说：

月食在晚上，加时的早晚，苦于没有依据。只有日食按日晷定时，无法变动。所以历法的粗疏严密，这是确实的证据。臣等编纂新历法，逐渐就绪，而以后一次的交食，为期还速，现在不和钦天监臣共同见证，到历法编成以后，将用什么证实？而且这次日食必须观测，还有另外的理由。

旧历法日食在正中，就没有时差。现在这次日食既然在中午，而新历法仍然有时差，是因为日月五星运行都沿着黄道，不由赤道。旧历法所说的中是赤道的午中，而不是黄道的正中。黄赤二道的中，只有冬至夏至加时正午，纔可能同度。现在十月朔离冬至的度数还远，两个中的差，有二十三度多，难道可以因为加时接近中午。就不加不减吗？正好碰上这一天，又是这个时刻，足以验证关于时差的方法，这是第一点。

本地的经度，没有得到准确的比率，那么加时就难以确定，它的数据一定要从交食时测验几次，纔可以勘测统一。现在这次日食依照新方法测量，它的加时刻分，或许前后不合，应当取从前所记的地经度数，斟酌改定，这可以求得里差的准确比率，这是第二点。

定时差的方法，祇知道在中没有加碱，但不知道中还要分黄道和赤道，现在一经过目睹，就人人都知道加时要根据黄道。由此及彼，其它方法也是一样，由此足以知道学习很容易，这是第三点。

即使分数很少，也应该详细测量，以求应验。皇帝觉得他说得对。到时，徐光启率领钦天监大臣预点日晷，调整壶漏，用测高仪器测量食甚时日晷的高度。又在暗室中斜着开了一道缝隙，设置窥管、远镜以测亏圆，画日体分数图板以确定食分。这次日食的时刻、高度全都相合，只是食甚分数不到二分。于是徐光启进言说：“现在食甚的度分密切相合，那么经度里差就不必更改了。只有食分不合，原来推算的大概是因为太阳光大，能够减小月亮的影子，一定会亏食到四五分以上，纔能与原来的推算相合。然而此次观测，是使用暗室窥管，所以能得到这样的分数。如果只凭眼力，或用盆子装水来照映，就会眩耀不定，恐怕还不止这个数了。”

当时有满城平民魏文魁，着了《历元》《历测》两本书，叫他的儿子魏象干将《历元》进献给朝廷，通政司送到历局考索验证。徐光启摘录了应当极力论证的七个问题：第一，岁实从汉以来，代代有减差，到《授时历》碱为二十四分二十五秒。依郭守敬的方法一百年碱一秒，现在应当是二十一秒多。而《历元》用赵知微的三十六秒，反复加很多。第二，根据弧背求弦矢，应当用密率。现在《历测》中还用径一围三的方法，不合弧矢的真实数据。第三，盈缩限，不在冬至夏至，应在冬至夏至后六度。现在考察太阳的运行，春分到夏至，夏至到秋分，这两限中，日时刻分不等。又立春到立夏，立秋到立冬，这两限中，日时刻分也不等。从测量可以见到。第四，说月亮最远运行快，最近运行慢，而且用圭表测到它，不对。月亮的快慢是入转内的事，圭表测高下是入交内的事，岂容混合推算。而月亮运行在转周之上，又向左旋转，所以最逮向西行最慢，最近向东行最快，旧历法正相反。第五，说日食在正午没有时差，不对。时差所说的距离，不是距赤道的午中，而是距黄道限东西各九十度的中。黄道限的中，有距午前后二十多度的，只依午正加减，怎能必然相合。第六，说交食定限，阴历八度，阳历六度，不对。日食，阴历应在十七度，阳历应在八度。月食则阴阳历都是十二度。第七，《历测》说：“宋文帝元嘉六年十一月己丑朔，日食剩下的部分像钩子一样，白天星星显现。现在用《授时历》推算，只亏食六分九十六秒，郭守敬的历法有错误。”月食天下都相同，日食各地不同。南宋建都金陵，郭守敬的历法制定于燕地，纬度相差八度，时间在十一月那么食差有二分弱，说“日食剩下的部分像钩子一样”，当在九分左右。郭守敬历法推得七分弱，却是密切相合，不是不合。本局现在定日食分数，首先说交，其次说地，再次说时，一样都不可缺。后来魏文魁反复论辩，徐光启再次阐明前面的说法，着成《学历小辨》。

他论述岁实小余及日食变差特别明晰。他说：“岁寅水余，从漠到元逐渐消减。现在新历法确定采用的岁寅，更比元代减少。不知道的人一定会说不仅先于天象，更先于《大统历》。乃至推壬申冬至，《大统历》得己亥寅时后段一刻，而新历法推得在辰时前段一刻十八分。这是为什么呢？大致订正年岁和推算月亮运行相似，冬至没有定率，与定朔、定望没有定率是一样的。朔望没有定率，应用平朔望和它相加减，冬至没有定率，应用平年和它相加减。所以新历法的平冬至，虽在《大统历》前，而定冬至总是在《大统历》之后。”又说：“宋仁宗天圣二年甲子年，五月丁亥朔，历官推算应当有日食而没有日食，各种历法推算都应当有日食。从历法来讲确实应当有日食，而在逭时确实没有日食，现在应当如何解释？日食有变差的方法，月亮在阴历，距交点十度多，按历法应当有日食。而恰好这一天这个地方的南北差，变成了东西差，所以从天体的运行来说，则地心与日月相互参验，确实发生了日食。而从人的眼睛所见到的，日月相距由近变为逮，确实没有日食。所以只有汴京是这样，如从汴京以束几千里，就逐渐看得见日食，到东北一万多里外，就全都看得见日食了。变差随时不同，或多变为少，或少变为多，或有变为无，或无变为有。推算历法的困难，全在这些地方。”不久，徐光启进入内阁。

五年九月十五日，月食，钦天监推算初亏在卯时前段一刻，徐光启等推算在卯时前段三刻，《回回历》科推算在辰时前段初刻。三种方法的异同，招致回答皇帝的诘问。到时观测，阴天有云，月亮没有出现，无法检验。徐光启上疏陈述三种历法不同的原因，说：

时刻的加减，是由于盈缩、迟疾雨差。而盈缩差旧历法从冬至夏至算起，新历法从最远点算起，最速点有行分，只有宋绍兴年间与夏至同度。郭守敬比这晚一百年，相差一度多，所以没有觉察。现在最速点在夏至后六度，这就是两种历法的盈缩差不同的原因。迟疾差，旧历法只用一转周，新历法叫作自行轮。自行轮之外，又有两次轮。这就是两种历法迟疾差不同的原因。至于《回回历》又有不周，或者由于四应，或者由于里差，臣确实不知道其中的缘故。总之，三种历法都依照自己的办法来推算，不能改变自己的办法去迁就。

将来应该讲求的有两条：一是食分多少。日食时，阳光闪耀，每每是先发生日食而人后看见。月食时，云气侵扰，每每人先看见而后发生月食。其中的差异在一分以上。现在想明白地看到真实的食分，近来有造窥管的，日食时，在暗室中引来光影，映照在白的丝织品上，初亏至复圆，分数真实准确，明白不差。月食时用来仰观两个天体离合的时刻，界限分明，与目测完全不同。这就是测定食分的方法。二是加时早晚。测定时间的方法，壶漏是古法，轮钟是新法，然而都不如以太阳和星星作标准。白天用太阳，晚上任选一个星座，都用仪器测量经纬度数，推算得到时间。这是测定时间的方法。两种方法确立后，那各种技术的粗疏精密，丝毫也不能隐藏了。

古今月食，各种史书都没有记载。日食，从汉到隋，共二百九十三次，而在晦日日食的七十七次，在晦日前一日的三次，初二日的三次，其疏漏到这样的程度。唐至五代共一百一十次，而在晦日日食的一次，初二日的一次，初三日的一次，逐渐严密了。宋共一百四十八次，没有在晦日日食的，更严密了，还是有推算要日食而没有日食的十三次。元共四十五次，也没有晦日日食的，还是有推算要日食而没有日食的一次，有日食而没有推算出的一次，傍晚日食而写成白天的一次。至于加时差错在四五刻的，当时已经是这样。可知高速无穷的事情，必须世代积累，纔能逐渐见到它的头绪。所以从汉到现在一千七百年，建立历法的有十三家，而郭守敬的为最优秀，尚且不能没有几刻的差错，而何况对于沿袭旧法的人，怎么能要求他精密呢？

这一年，徐光启又进献《历书》三十卷。笫二年冬十月，徐光启因病辞去了历局的职务，用山东参政李天经代替他。遇了一个月，徐光启去世。七年，魏文魁进言说，历官所推的交食节气都不对，于是命令魏文魁进京测骏。这时论述历法的有四家，除《大统历》《回回历》外，另设立西洋历法为西局，魏文魁焉束局。每一家的说法不同，乱纷纷的像打官司一样。

李天经缮写进献《历书》共二十九卷，另有星宿屏风一座，都是已故宰辅徐光启率领西洋人制订制造的。李天经预推五星冲犯会合行度，说：“闰八月二十四日，木星冲犯积尸气。九月初四昏初，火星土星同度。初七卯时后段，金星土星同度。十一昏初，金星火星同度。用旧历法推火星土星同度，在初七，这就落后天象三日。金星火星同度在初三，造就先于天象八日。”而魏文魁则说，李天经所报告的，木星冲犯积尸与天象不合。李天经又说：“臣在闰八月二十五日夜及九月初一日夜，同礼部臣陈六轮等，用窥管观测，见积尸被几十个小星团团包围，木星与积尸，一起容纳在窥管中。窥管直径只有一寸多一点，两星相距三十分以内的，纔可能同时出现。如觜宿三颗星相距三十七分，就不能同时出现。而魏文魁只根据主观推算，没有经过实测。据他说初二日木星已在柳宿前，那么在此之前难道能越过鬼宿而飞渡吗？”李天经又推算木星的退行、顺行，两次经过鬼宿，它的度分晷刻，不久都应验了，于是魏文魁的说法被废除了。

李天经又进献《历书》三十二卷，并有日晷、星晷、窥管等仪器。八年四月，又献上《乙亥丙子七政行度历》及《参订历法条议》二十六则。

其中七政公说有七则：一是各曜的应敷应修改。日月五星平行起算酌根敷就是应敷，即是某曜某日某时运行到某宫次的数字。现在新法改定的各项应敷，都从崇祯元年戊辰前，冬至后，己卯日子时后段开始。二是测各曜的运行度数，应该用黄道仪。太阳由黄道运行，月亮五星各有自己的轨道，出入黄道内外，不走赤道。如用赤道仪观测，所得到的经纬度数，必须全部用黄道赤道通率表换算，不如用黄道仪实时得到七政的本度方便。三是各方七政运行度数，随地方不同。日月在东西方所见到的交食，时间各有先后，已经不用怀疑了。那么太阳运行产生二十四节气，与月亮五星的掩食冲犯，怎能不与交食同一道理呢？所以新历法各数据表，虽然以顺天府为主，而推算各方的运行度数，也都各有自己的方法。四是各曜的加减分，用平、立、定三差法，还不够。加减平行分以求自身的运行度数，是历家的重要事情。只是天实际上是圆体，与平行不同，旧历用的三差法，都是从勾股平行来确定的，和天体不合。就是各盈缩损益数据，也没有得到真实数字。现在新历法加碱各表，却是用圆治理圆，纔可以与天相合。五是随时随地可以求得各曜的经度。旧历法想得到某日某曜的经度，必须先推算各曜冬至日所运行的宫度宿次，然后用各段日度计算纔能得到。现在的方法不限时间方所，只要查阅本表推算就是了。六是径一围三，不是弧矢的真法。古代历家用直钱测圆形，叫做弧矢法，而计算用径一围三，就错了。现在的立割圆八线表，用法简便而用处大。弧矢等线，只乘除一次，就能得到。七是球面三角三弧形，不是勾股可以完全算出来的。古法测天以勾股焉根本，然而勾股只能解决直角，不能解决斜角。而且天是圆球，球面上与各道相切割产生的三弧形，勾股不能够完全解决它。

论述恒星有四则：一是恒星本行，即所说的岁差，从黄道极算起。各星离赤极的度分，古今不同。距离赤道内外，也古今不同。而距黄极或距黄道内外，却是从古以来一样，所以知道日月五星都沿着黄道运行。恒星的本行，应该从黄遒极起算，作为岁差的比率。二是古今各宿的度数不同。恒星以黄道极为极，所以各宿距星的运行度数，与赤道极时近时速。运行逐渐接近赤道极，即从赤道发出的遇距星的线逐渐变密，本宿的赤道弧就较小。逐渐远离赤极，经过距星的线就逐渐稀疏，本宿的赤道弧就较大。这是因为黄道赤道黄极赤极不同，不是距星有不同的运行，也不是距星移动了位置。如觜宿距星，漠测距参宿二度，唐测一度，宋崇宁年问测半度，元郭守敬测五分。现在测量，不但没有一分，反而侵入参宿二十四分，不是一个证据吗？三是夜半测星定时。太阳沿赤道左行，每十五度为一小时。现在任意测量一颗星距子午圈前后的度分，又用本星经行和太阳经行相加减，得太阳距子午圈的度分，通过它变为真时刻。四是宋时所定的十二宫次在某宿度，现在不能定在某宿度。这是因为恒星有本行，宿度已经右移的缘故。

关于太阳的论述有四条：，一是太阳盈缩的极限，不是冬、夏二至，就是人们所说的最高及最高冲。这个极限年年向右移动，现在已超过了二至后六度多。二是用圭表测量冬夏二至，不是好的办法。在二至前后，太阳南北的运行度数很少，一丈长的圭表，一天的日影的差异不过一分三十秒，则一秒的长度就管六刻多的时间。如果测量误差二三秒，时间就将近二十刻，怎么能准确呢？现在的办法只用春、秋二分，因为这时太阳一天南北运行二十四分，一天的日影差异有一寸二分，即使测量误差一二秒，折算时间也不满一刻，比二至更精密。三是太阳起落的分数，应该从顺天府起算。因各方纬度不同，早晨黄昏的时刻也因此有差异。《大统历》依照应天府推算，所以昼夜长短，日月东西方位和是否带食，推算的都不准确。现在依照顺天府改定。四是平节气不是天时的真节气。旧历法一气的长度，是一年长度的二十四分之一。然而太阳的运行，有快右慢，不能平分。如果平分，那么春分就比天象晚两天，秋分就比天象早两天了。现在全都改正。

关于月亮的论述有四条：一是朔望之外，另外还有损益分，一次加碱不足以完全平衡。旧历法确定月亮匀速运行，推算朔望的加减数，大致五度多，然而上弦和下弦时多少不一，即使是《授时历》也说朔望之外，匀速运行的度数不一定，明白了这个道理，但是没有写进历法。现在在加减之外，再使用一次加减，取名叫二三均数。二是黄白二道的相距度不能确定焉五度，而是时多时少。古今历家根据交食的分数及交泛等，测定黄道白道相距大约五度。然而朔望日之外雨道的相距度数，有增有碱，最大距离达到五又三分之一度。如果一个月有两次交食，在上下弦时用仪表求距离黄道的度数焉五度，就不能与天象相合。三是交行有损益分。罗喉、计都即正交、中交的行度，古今都定为匀速运行。现在仔细测量，月亮有时在交点之上，用匀速去推求，必然与计算不合。因此再设置一次加减，成为交行的均数。四是天象没有紫气。旧历法认为是从闰余中产生，又认为是木星的余气。现在仔细考察各星，没有天象可以说明，可知这是毫无根据地增加的。

关于交食的论述有四条：一是日月影像的直径大小总是不一样的。因为日月有时运行得最高，有时运行的最低，因为相距有速有近，所见到的就有大有小。又因速的时候和近的时候看到月亮反射的光线，有强有弱，所以月亮影像的直径大小不会一样。二是日食正午不是中限，而应以黄道九十度限为中限。南北东西差都是依据黄道，那么时差又怎能不依据黄道来论定它的初段末段以推求中限呢？况且黄道在地平之上的部分，两个象限自有它的高处，也自有它的中限。这个道理不明白，有时该加的反而减，该碱的反而加，凡是加时不合的都是由此产生的。三是日食的初亏和复圆，时刻多少总是不一样的，不是两段时间各折一半的那种说法。视觉的误差能把实际运行变为枧运行，那么用视差来比较食甚的前后，没有不出差错的。根据视差既然食甚前后木一，又怎么能使枧运行前后相等呢？现在用视运行来推算时刻，初亏和复圆不能相等就明确了。四是各方各自依照当地的经度推算日食的时刻及日食的分数。地面上东方和西方看见日月的出没，各有先后不同，那么得到的时刻也不相同。所以看到交食虽然是一个但时刻不同，这一点日食和月食都是一个道理。如果是日食则因为视差各地不同，月食则因为看的距离不同，所见到的交食分数也就有差异。

关于五星的论述有三条：一是五星应根据太阳的视运行，而不能根据段目来确定。因为五星都是以太阳为中心，与太阳合就前行得快。与太阳冲就退行。而且太阳的运行有快慢，这样五星的合伏日数，时多时少，自然不能根据段目来确定它的度分。二是五星应增加纬度运行度数。因五星出入黄道，各有一定的相距度。又木、土、火三星与太阳相冲纬度大，与太阳相合纬度小。金、水二星顺伏纬度小，逆伏纬度大。三是观测五星，应当用恒星作为标准。测量五星除使用黄道仪外，还应使用弧矢等仪器。根据测到的某星距离两颗恒星的多少度分，依据有关方法计算，纔能得到这颗星的真经纬度分。有时绘图也可以免于计算。

这时新历法书籍仪器都已完备，多次预测日月交食五星冲犯都密切相合，但魏文魁等想方设法阻挠，实际上是宦官在指使。因此皇帝不能决断，下谕叫李天经和钦天监历局虚心地详加研究，一定要求得到统一。这年，李天经推算水星隐现及木星所在的度数，都与《大统历》各不相同，而新历法与天象相合。又推算八月二十七日寅时后段二刻，木星、火星、月亮三曜同在张宿六度，而《大统历》推算木星在张宿四度，火星、月亮在张宿三度。到时，果然同在张宿六度。九年正月十五日辛酉，望日早上月食。李天经及《大统历》、《回回历》、束局，各自预先推算初亏复圆食甚的时刻和食分。李天经怕到时被云掩盖难以见到，就根据地面距离的差距，推算河南、山西所见到的时刻，上奏派官员分别测量验证。到了那一天，李天经与罗雅谷、汤若塱、大理评事王应遴、礼官李焰及钦天监、历局守登、魏文魁等到观象台观测骏证，只有李天经所推算的与天象相合。不久，河南的报告也完全与原来的推算相合，山玺因月食时被云掩盖无从验证。

皇帝认为测算月食，新历法最接近天象，只是十五日雨水，而李天经定十三日为雨水，命令他再上奏说明。

李天经答复说：讨论节气有两种办法：一是平节气，一是定节气。平节气，将一年的长度，平分为二十四份，每份得十五日多，就是一个节气。所以从前一年的冬至开始算起，宁定要遇六十日八十七刻多纔是雨水。旧历法推算的十五日子时后段二刻就是这样。定节气，以三百六十为周天的度数，也平分为二十四份，每份得十五度为一个节气。从前一年的冬至开始算起，经过五十九日二刻多，而太阳运行满六十度就是雨水。新历法所推算的十三日卯时前段二刻八分就是这样。太阳的运行有快有慢，不设法加减，一定与天象不合，怎么能平分一年长度作为节气呢？用春分来验证，道理更加明白。分，是黄道和赤道的交点，太阳运行到这里，就昼夜平分。旧历法在二月十四日之下，注明白画五十刻、夜晚五十刻就是这样。十四日昼夜已经平分，那么新历法推算十四日为春分符合天象，而旧历法推定为十六日，已落后天象二日了。知道了春分，那秋分和各节气就可知了，而对于雨水就没有疑问了。

后来李天经在春分将到时，每天中午到观象台测量正午时太阳的高度。二月十四日高五十度八分，十五日高五十度三十三分。李天经于是说：

京城的北极出地高度是三十九度五十五分，那么赤道的出地高度应是五十度五分，春分日太阳正在赤道上，太阳正午的高度与赤道的高度相等，过了这一位置太阳的高度必然逐渐增高。现在将十四日所测到的太阳高度，加上地半径差二分，比赤道高度已多五分。这大概是因为原来推算的春分在卯时后段二刻五分弱，这时每天纬行度二十四分弱，时差二十一刻五分，那么纬行度应加五分强。到十五日，加上地半径差比乔道高度已多达三十分，何况十六日呢？所以春分应当在十四日，而不应当在十六日。秋分也是这样。又上呈《节气图》，说：

内规分三百六十五又四分之一度，是太阳运行的度数。外规分三百六十度，是周天的度数。从冬至算起，经过九十一日三十一刻六分，纔到达春分，这是受太阳运行度数的限制，而在周天的度数，已超过二度多了。又经过二百七十三日九十三刻一十九分，而和秋分点相交，也是受太阳运行度数的限制，而在周天度数还差二度多。难道不是旧历法春分每次比天象落后两天，秋分比天象提前两天的原因吗？

十年正月辛丑朔日，发生日食，李天经等预测京城见食一分十秒，应天及各省分秒各不相同，只有云南、太原看不到日食。日食的初亏、食甚、复圆时刻也各不相同。《大统历》推算食分一分六十三秒，《回回历》推算食分三分七十秒，柬局推算只有游动的云气侵扰日光三十多秒。而到发生日食时检验，只有李天经的推算最精确。当时将要废除《大统历》，使用新历法，这时管理其它历局事务的代州知州郭正中进言说：“中国历法一定不要完全废弃，西洋历法一定不要独家实行。四种历法各有长短，应当综合各家，兼用西法。”十一年正月，皇帝就下诏仍然使用《大统历》，至于交食的经纬度，晦朔弦望，因历法年代长了有差错的，另外考求和参考新历法与《回回历》，几种说法并存。这一年，进升李天经焉光禄寺卿，仍然管理层法事务。十四年十二月，李天经进言说：“《大统历》设置闰月，只要求月中没有中气，新历法尤其重视合朔的先后。现在所进献的十五年新历，其中十月、十二月的中气，正好在次月合朔时刻之前，所以月内虽然没有中气，而实际上并不是闰月。大致气在朔日之前，则此气还属于上一月的晦日。到十六年第二个月只有惊螯一个节气，而中气春分，在第三个月合朔之后纔到来，那么第二个月是闰正月，第三个月是二月，是没有疑问的。”当时皇帝已深知西洋历法的精密。到十六年三月乙丑朔日日食，又惟独用西洋历法预测应验天象。八月，皇帝下诏说西洋历法确实精密，马上改名焉《大统历法》，通行天下。不久国家发生变故，最终没有施行。本朝用的是《时宪历》。

按照明朝的制度，历官都是世代相传作为职业，成化、弘治年间还能够提出修改的建议，万历以后就都是专用己说、抱残守缺而已。那些不是历官而懂历法的，除郑世子之外，唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗都有著述。唐顺之的著述没有成书，他的论述散见于周述里的《历宗通议》、《历宗中经》。袁黄着有《历法新书》，其中天地人三元，则是来源于陈壤，而雷宗也着有《合璧连珠历法》。这些人都是融会《回回历》以纳入《授时历》，虽然不能像郑世子那样精深细致，他们对于中公历法的原理，都有所创新阐发。邢云路《古今律历考》，有人说本出自魏文魁之手。魏文魁学识本来肤浅，难怪他所注释的《授时历》，都不合原书的旨意。

西洋人来到中国的，都自称瓯罗巴人，他们的历法和《回回历》相同，而更加精密。曾经考察前代，远方国家谈历法的人多在西域，而东方、南方、北方没有听说遇。唐代的《九执历》、丞盐的《万年历》，以及湛亟年间所译的《回回历》，都是西域的历法。大概尧命令羲仲、羲叔、和仲、和叔分居四方，羲仲、羲叔、和叔就以蝎夷、南交、朔方为界限，惟独和仲祇说了“住在西方”，而没有限制地点，难道不是当时的声威教化向西影响得很远吗。到了周代末期，历官子弟四处分散。西域、天方各国，和中原西部接壤，又不像东南有大海阻隔，又没有北方严寒的威胁，他们抱着书籍仪器而西去，从情势上讲确实是很方便的。瓯罗巴在回回的西面，他们的风俗和回回相似，而喜好新奇、争强好胜的习俗超过了回回。所以他们的历法与回回同源，而代代增修，于是不是回回所能赶得上的了，这也是争强好胜的习俗造成的。羲、相失去他们的职守以后，现在还能见到的古籍，只有《周髀》。而西方人天文仪器，寒热五带的学说，地为圆球的道理，几何学的方法，都没有超出《周髀》的范围，由此也可以知道西洋历法的由来了。四处搜索广博采纳，用以继续千百年来已失落的头绪，也是礼仪失落后到僻野之地求索的意思，所以详细地论述。